在分形不确定性和量子混沌中寻找解决方案

谢弥恩·佳特洛夫称自己为“数学物理学家”。

他是《概率与数学物理》杂志的副主编。他的博士论文促进了对黑洞空间时间波衰减的理解。他的大部分研究集中在开发理解经典物理学(将光描述为沿直线运动并在表面反弹的射线)和量子系统(其中光具有波粒二象性)之间的对应关系的新方法。

所以，作为一个在西伯利亚长大的学生，他没有深入学习物理学，这可能会让人感到惊讶。

他说:“我的很多工作都与物理有很深的联系，尽管我在学生时代没有接受过那么多的物理教育。”“当我开始从事数学家工作时，我才慢慢开始理解广义相对论和现代粒子物理学。”

一个热爱数学的家庭，还有鼓舞人心的导师

然而，他的数学教育很广泛，而且很早就开始了。

Dyatlov在一个数学家家庭中长大。他的两个兄弟中有一个是应用数学家。他的父母都有数学学位。他在距离新西伯利亚州立大学(NSU)校园步行五分钟的地方长大，这是西伯利亚的一个主要学术研究中心，他的父亲仍在那里教书。

“从很小的时候，我就接触到了各种各样的数学，”他说。“我们的房子里到处都是日记和书。我很幸运，因为我既喜欢数学，又出生在一个研究数学的家庭。”

他甚至可以把自己对微局部分析的兴趣追溯到几十年前和他哥哥的谈话。微局部分析是他现在作为麻省理工学院数学副教授的专业领域。这些谈话激发了人们对偏微分方程的兴趣，Dyatlov在NSU读本科时学习了偏微分方程，他的兄弟和父亲都在那里获得了博士学位。

Dyatlov继续在加州大学伯克利分校攻读研究生。在那里，他的轨迹受到了他与Maciej Zworski教授第一年学习的一门散射共振理论课程的影响。

这将是一次富有成果的会面。Zworski成为Dyatlov的论文导师;十年后，他们仍在合作。除了他们共同撰写的许多论文外，他们还合著了一本由美国数学学会在9月份出版的新教科书。

兹沃斯基在麻省理工学院获得了学士学位和数学博士学位。

他回忆道:“那时候，围绕着如何将散射理论方法应用于黑洞的问题，还有些神秘。”这个与这个谜团相关的问题，发展成为他论文中在广义相对论背景下对指数波衰减的详细探索。

运气、合作和“被困的轨迹”

2013年12月，Dyatlov开始在麻省理工学院攻读博士后;到2015年，他被聘为数学助理教授。他现在是一名副教授，并于2019年获得终身教授职位。

“有时我觉得自己只是运气好了很多次，”Dyatlov谈到他的职业生涯时说，从在数学家家庭中长大，到找到像Zworski这样有影响力的导师和合作者。

Dyatlov现在正在研究量子系统在长时间内的行为如何与经典系统的行为相对应。他最近的一些研究集中在开放量子混沌系统的光谱间隙。

为了帮助初学的学生形成概念，他提出了敲钟的类比:“钟的形状如何决定它的声音能持续多久?”(有时他会用麻省理工学院数学系的杯子代替。)

钟的形状决定了声音能持续多久。区别在于声音的音高和能被听到的时间。他说:“这两门课你都可以学，但一个很自然的问题是，不管你怎么按铃，要多久声音才会消失?”

经典物理学可能把钟(或杯子)所发生的事情描述为一种类似于光从镜子上反射的现象:声音从钟上反射一次，然后逃逸到无穷大。

“数学上，你希望看到的是能量的指数衰减，对应的波动方程的解，”他解释道。Dyatlov感兴趣的是这种衰减的速率，以及在某些情况下，是否存在指数衰减。

他最近的工作深入研究了在“量子混沌”条件下这些轨迹会发生什么。

“假设有波反弹，其他所有东西都逃逸了，但你有一个系统——假设在碗里——这些经典轨迹永远不会离开。我研究的是这样一种情况:你的系统中有一组分形的被困轨迹。

他说，这些被困住的轨迹形成了一个“不知从何而来”的分形集合。“在我的工作之前，人们就知道分形集是从这里出现的，但当我看到它时，仍然感到惊讶。这里，分形集自然出现在一个没有分形集的问题中。”

这项工作导致了他所谓的“分形不确定性原理”的发展。经典的测不准原理说，你无法精确地确定一个量子粒子的位置和动量。Dyatlov提出了这种分形陷阱轨迹集的一种形式。

他说:“我发现人们可能能够解决这个波衰减的问题——这个关于偏微分方程的问题，关于经典量子对应的问题，关于波动力学和混沌动力学的问题——但是你需要的组成部分是这种新的分形不确定原理。”

翻译和工具箱

为了研究这个问题，他必须扩展到不同的数学领域，而这些都超出了他所受的训练。在这个过程中，他遇到了另一个“幸运的突破”:麻省理工学院(MIT)的数学教授拉里·古思(Larry Guth)建议他与约书亚·扎尔(Joshua Zahl)谈谈。他们应用各自的技术，在一些特定的分形集合中证明了指数衰减，并就这个主题共同写了一篇论文。几年后，在另一次“幸运”的合作中，Dyatlov与已故的高级研究所著名数学家Jean Bourgain合作，证明了这些集合的一般情况下的分形不确定原理。

他说:“你有你的工具箱，你试着尽可能多地利用它来解决问题。”但有时你不得不寻找新的工具。“麻省理工学院是这样做的好地方。”

他说，这种跨越领域的行为是数学实践的基础。他最近和Zworski一起出版的那本书开篇引用了歌德的话:“数学家是某种法国人:无论别人对他们说什么，他们都会翻译成自己的语言，然后就会变成完全不同的东西。”

Dyatlov看到了这句题词和他自己在数学和物理之间的联系。

他说:“这是一个具有讽刺意味的观点。”“数学和物理分门别类是一种自然的排斥力量，因为我们做的事情如此不同。实验物理学家必须尊重现实情况，必须考虑在实验室里可以模拟什么。作为一名数学家，你必须专注于你可以证明的东西。你必须提取并将物理现象转化为定理。”

“社区里的人们需要创造一种有吸引力的力量来共同努力，弥合这种分歧。”