你的结有多结实?

在航海、攀岩、建筑和任何需要系紧绳索的活动中，某些绳结被认为比其他的更牢固。例如，任何一个经验丰富的水手都知道，一种结可以把一张纸固定在前帆上，而另一种则更适合把船拴在桩子上。

但究竟是什么使一个结比另一个结更稳定，至今仍未得到很好的理解。

麻省理工学院的数学家和工程师开发了一个数学模型，根据几个关键的属性，包括交叉的数量和绳节被拉紧时扭曲的方向，来预测绳结的稳定性。

麻省理工学院(MIT)数学副教授约恩•邓克尔(Jorn Dunkel)表示:“绳结之间的这些细微差别，在很大程度上决定了绳结是否牢固。”“有了这个模型，你应该能看到两个几乎相同的结，并能说出哪个更好。”

麻省理工学院(MIT)洛克威尔国际职业发展副教授马蒂亚斯•科勒(Mathias Kolle)补充道:“几个世纪以来提炼出来的经验知识，已经明确了最好的结是什么。”“现在模型显示了原因。”

Dunkel、Kolle和博士生Vishal Patil和Joseph Sandt今天在《科学》杂志上发表了他们的研究结果。

压力的颜色

2018年，科尔的团队设计了可拉伸纤维，可以根据应变或压力改变颜色。研究人员发现，当他们拉动一根纤维时，它的颜色会从彩虹的一种颜色变成另一种颜色，尤其是在压力最大的地方。

反手结的一个例子。

科勒是机械工程的副教授，他应麻省理工学院数学系的邀请，就光纤做了一次演讲。邓克尔当时就在观众席上，他开始酝酿一个想法:如果压力传感纤维可以用来研究结的稳定性呢?

长期以来，数学家们一直对绳结很感兴趣，以至于物理绳结激发了拓扑学中一个被称为绳结理论的分支领域——理论绳结的研究。在纽结理论中，数学家们试图用数学术语来描述一个结，以及它在保持其拓扑结构或一般几何结构的同时可以被扭曲或变形的所有方式。

“在数学结理论中，你把所有与力学有关的东西都扔掉，”邓克尔说。“你不关心你的纤维是硬的还是软的——从数学家的角度来看，这是同一个结。但我们想看看能否给绳结的数学模型增加一些东西，解释它们的机械性能，从而能够解释为什么一个绳结比另一个绳结更牢固。”

意大利面物理

邓克尔和科勒联手研究是什么决定了一个结的稳定性。这个团队首先用柯尔的纤维来打各种各样的结，包括三叶结和数字8结，这些结构对热衷航海的柯尔和邓克尔团队的攀岩队员来说都很熟悉。他们给每一根纤维拍照，记录下纤维在何时何地改变颜色，以及当纤维被拉紧时施加在纤维上的力。

研究人员利用这些实验数据校准了Dunkel的团队先前用来描述另一种纤维的模型:意大利面。在那个模型中，佩蒂尔和邓克尔把每一根链当作一串小的、分散的、弹簧相连的珠子，描述了意大利面和其他柔性的、类似绳索的结构的行为。每个弹簧弯曲和变形的方式可以根据施加在每个弹簧上的力来计算。

科勒的学生约瑟夫·桑特(Joseph Sandt)此前根据对纤维的实验绘制了一幅彩色地图，将纤维的颜色与施加在纤维上的给定压力联系起来。帕蒂尔和邓克尔将这张彩色地图整合到他们的意大利面模型中，然后用这个模型来模拟研究人员用纤维实际绑起来的绳结。当他们将实验中的绳结与模拟中的绳结进行比较时，他们发现两者的颜色模式实际上是相同的——这表明该模型准确地模拟了绳结中的应力分布。

有了对模型的信心，帕蒂尔接着模拟了更复杂的绳结，注意到哪些绳结承受的压力更大，因此比其他绳结更结实。一旦他们根据相对强度对绳结进行了分类，帕蒂尔和邓克尔就开始寻找某些绳结比其他绳结更强的原因。为了做到这一点，他们绘制了简单的图表，为著名的老奶奶，珊瑚礁，小偷，和悲伤结，以及更复杂的一些，如卡里克，齐柏林飞艇，和高山蝴蝶。

一个珊瑚礁结的例子。

每个打结图都描绘了两股绳在被拉紧之前打结的模式。研究人员包括了每一股被拉时的方向，以及每一股交叉的地方。他们还注意到，随着绳结的收紧，每一股的旋转方向。

通过比较不同强度的绳结图表，研究人员能够识别出一般的“计数规则”，即决定绳结稳定性的特征。基本上，如果一个结有更多的线交叉和更多的“扭转波动”——从一个线段到另一个线段的旋转方向的变化——它就会更强。

例如，如果一个纤维段在一个交叉路口向左旋转，而在相邻交叉路口向右旋转时，一个结被拉紧，这就会产生扭转波动，从而抵消摩擦，从而增加了结的稳定性。然而，如果在相邻的两个交叉点上，线段以相同的方向旋转，则不会出现扭转波动，而股线更有可能旋转和滑动，从而产生较弱的结。

他们还发现，如果一个结有更多的“循环”，那么它就可以变得更强。他们将“循环”定义为结中两个平行的线在相反的方向相互缠绕的区域，就像一个循环流动。

通过考虑这些简单的计数规则，该团队能够解释为什么珊瑚礁结比奶奶结更强。虽然这两个几乎是相同的，珊瑚礁结有更高的捻度波动数，使它更稳定的配置。同样地，齐柏林飞艇结，由于其稍高的循环和扭曲波动，比阿尔卑斯山蝴蝶结更强，尽管可能更难解开，这种结通常用于攀岩。

“如果你从经验知识中挑选出一个类似的结作为“最好的”，现在我们可以说为什么它可能值得这样的区别，”Kolle说，他设想新模型可以用来配置各种强度的结，以适应特定的应用。“我们可以互相打结，用于缝合、航行、攀爬和建筑。这太好了。”

这项研究得到了阿尔弗雷德·p·斯隆基金会、詹姆斯·s·麦克唐奈基金会、吉莉安·雷尼·斯特朗创伤创新中心布里格姆妇女医院和国家科学基金会的支持