最小曲面的几何形状：安托万·宋访谈录

Antoine Song在法国出生和长大，在巴黎 高等师范学院 完成本科和硕士学位，然后来到美国普林斯顿大学攻读博士学位。获得博士学位后，宋在加州大学伯克利分校完成了为期三年的博士后研究，然后于 2022 年来到加州理工学院担任数学助理教授。

宋专门研究微分几何，即使用分析和微分方程研究物体或空间的形状。他正在寻求深入了解最小表面，几何形状最小化总表面积，这是局部空间中能量最低的表面。我们最近与宋坐下来了解更多关于他的研究以及他在加州理工学院担任教授的第一年。

什么是最小表面？

这是一个通用术语，用于描述数学上有趣的整个对象子集。它们具有特殊的形状，特定的几何形状。如果您考虑可以在三维空间中可视化的所有可能表面，它们中的大多数都没有美丽或有意义的形状。但最小表面——那些最小化能量的表面——在某种意义上是最佳的。

你能举一个最小表面的例子吗？

最简单的例子之一是肥皂膜。如果你把一个线框浸在肥皂水中，当你把它拿出来时，你会得到一个形状非常特殊的肥皂膜。例如，它不会颠簸。我的意思是，你可以想象各种形状 它们与肥皂膜具有相同的边界， 这些形状可以存在于同一个线框内。但是肥皂膜制成的形状使用的能量最少。它处于休息状态。从这个意义上说，它是一种最佳形状。

另一个很容易理解的例子是，如果你想象一个平面中的一堆点：如果你用尽可能少的字符串连接所有这些点，这将创建一个最小的表面。该表面以最少的能量具有最多的连接。

您对最小表面有什么了解？

就在10年前，还不清楚有多少最小的表面。起初，人们认为，尽管它们在我们日常生活中熟悉的三维空间中比比皆是，但除此之外，它们可能非常罕见。但是我为我的博士论文所做的研究表明，有无限多的最小表面。确定它们并不总是显而易见的，但这是一类迷人的对象。

您的工作是否在最小的表面上有应用，或者这个概念仍然只在纯数学领域？

老实说，我研究最小表面几何形状的直接动机并不是这项工作的任何潜在应用。我有时会说，也许一百年后会有这样的应用，但这不是我的目标。当然，从根本上说，纯数学和应用数学之间没有真正的区别。就我个人而言，我有兴趣长期探索更多的应用数学。

当您尝试思考一个难题时，什么对您最有帮助？当你得到最好的想法时，你在哪里？

步行有很大帮助。加州理工学院的校园非常适合这一点。然而，有时候，如果你沉浸在自己的思想中，以至于你不认识那些试图向你打招呼的人，它可能会给你带来麻烦。当我在普林斯顿做研究生工作时，我经常在图书馆里走来走去，不看书或任何东西，只是为了帮助自己思考而移动。有一天，图书管理员来找我，问我是否还好。她很担心我。

你有没有想过数学的进步是否会让我们其他人在学校学到的所有简单数学的基础受到质疑？

不 不。数学不像物理学，在物理学中，新理论可以摧毁或彻底改变以前的东西。仅就数学的本质而言，我认为这不太可能。我们喜欢将数学的历史呈现为某种线性进步，但它比这更微妙。的确，古希腊人的定理现在和它们第一次被证明时一样新鲜。它们是正确的，非常有用。但是线性级数的概念很复杂，因为数学中没有预定的方向。我们可能正在一些对我们来说很重要的领域工作，但有一天人们可能会意识到，这些不是要问的正确问题，也不是要证明的正确定理。它们可能是完全正确的，但如果它们被认为不够美丽、丰富或有意义，它们可能会被抛弃。因此，数学家可能会把这项工作放在一边，转向其他方向。

你在教什么课程？

去年，我教了一门关于最小表面的课程——我自己的专长。今年，我将开设一门关于黎曼几何的课程，黎曼几何在物理学中用于描述广义相对论。

到目前为止，你喜欢加州理工学院的哪些方面？

尺寸对我来说真的很好。加州理工学院能够提供大型数学系无法提供的东西。例如，本季度，我将主持一个名为“数学前沿”的研讨会。目标是每周邀请某人，无论是博士后的教职员工，就他们的研究发表演讲。通过这种方式，本科生可以了解数学家现在正在研究的各种问题，以及研讨会的运作方式。许多大学无法为本科生提供这样的东西。