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Surprising hidden order unites prime numbers and crystal-like materials

被称为质数的看似随机的数字并不像之前认为的那么分散。普林斯顿大学(Princeton University)研究人员的一项新分析发现,质数的模式与某些晶体状材料中原子的位置类似。

Salvatore Torquato

塞尔瓦托,作为

研究人员发现,质数序列在很长一段数轴上的序列,与x射线照射物质以揭示其原子内部排列的模式惊人地相似。研究人员说,这项分析可以使预测质数的准确率更高。这项研究发表在9月5日的《统计力学杂志:理论与实验》上。

普林斯顿大学路易斯伯纳德自然科学教授、化学教授、普林斯顿材料科学与技术研究所(Princeton Institute for the Science and Technology of Materials)的塞尔瓦托尔·托奎托(Salvatore Torquato)说:“质数的顺序比以前发现的要多得多。”“我们证明了质数的行为几乎类似于晶体,或者更准确地说,类似于一种叫做‘准晶体’的类似晶体的物质。”

质数是只能除以1和自身的数。非常大的素数是许多密码学系统的组成部分。质数似乎是沿着数轴随机分布的,尽管数学家们已经发现了一些规律。前几个质数是2、3、5、7和11,在数轴上变得更加分散。

托克托和他的同事们发现,当考虑到数轴上的大片区域时,质数的排列比之前认为的要有序,它们属于“超均匀性”模式。

超均匀材料在长距离下具有特殊的有序性,包括晶体、准晶体和特殊的无序体系。超均匀性存在于鸟类眼睛的锥细胞排列、某些稀有陨石以及宇宙的大尺度结构中。

研究小组显示,他们在质数中发现的顺序与x射线与某些物质相互作用时产生的模式相对应。作为一名化学家,托克托熟悉x射线晶体学,即通过晶体的三维原子晶格发射x射线。对于钻石或其他晶体,这将导致一个可预测的模式的亮点或峰,称为布拉格峰。

与典型晶体相比,准晶体具有独特而复杂的布拉格峰排列。典型晶体中的峰,在它们之间有规则的间隔和空的间隙。在准晶体中,任意两个选定的布拉格峰之间是另一个布拉格峰。

托克托和他的同事在质数中发现的模式类似于准晶体和另一种称为极限周期阶的系统,但它的差异足够大,以至于研究人员称它为“有效极限周期阶”。质数出现在“自相似”分组中,这意味着在一定高度的峰之间,有一组较小的峰,以此类推。

Graph showing dots with prime numbers

普林斯顿大学的研究人员发现,某些晶体材料中的原子模式与质数之间存在相似性。这里,红点表示非素数,黑点表示素数,它们被视为“原子”。

研究小组通过计算机模拟发现了这种模式的强烈迹象,以观察如果质数被视为一串受x射线照射的原子,会发生什么。在今年2月发表在《物理A杂志》(Journal of Physics A)上的一篇论文中,研究人员报告称,他们发现了一种令人惊讶的类似布拉格峰的模式,这表明最初的模式是高度有序的。

本研究利用数论方法为前人的数值实验提供了理论基础。托克托说,研究人员意识到,尽管质数在很短的时间间隔内呈现出随机性,但在数轴足够长的一段时间内,我们可以从看似混乱的数字中找到意义。

“当你达到那个显著的极限时,‘砰!’”他打响指说。“有序的结构出现了。”

托奎托与2017年获得化学博士学位的张戈以及数学研究生马修·德·考西-爱尔兰共同撰写了这篇论文。

De Courcy-Ireland说,类似的数值模式是由“圆法”描述的,“圆法”是近一个世纪前为寻找质数中的模式而发展起来的。“对我来说,有趣的是在这些结果,回到1922年,调整它们以某种方式,给你一个新的例子,一个系统的属性,很有趣,,也许可以点的方法,你可以寻找更多的物理例子,”他说。

这一发现可能有助于数学和材料科学的研究。托克托说:“质数具有漂亮的结构特性,包括意想不到的顺序、超均匀性和有效的有限周期行为。”“质数告诉我们物质的一种全新状态。”

”这篇论文有什么吸引人的是它给了我们一个不同的视角质数:而不是看这些数字,我们可以把它们作为粒子,通过x射线衍射在地图上标出它们的结构,”亨利·科恩说,微软研究院首席研究员他并没有参与这项研究。“事实证明,它给我们提供了与传统数字理论方法相同的信息,并与之前的工作完美地结合在一起。这是对这一信息的一个美丽的新视角,它开启了与材料科学和散射理论的新联系。”

这项由Salvatore Torquato, Ge Zhang和Matthew de Courcy-Ireland共同完成的研究“通过散射揭示质数的多尺度顺序”发表在9月5日的《统计力学杂志:理论与实验》(DOI: 10.1088/1742-5468/aad6be)上。它由国家科学基金会(DMR-1714722)和加拿大自然科学与工程研究理事会资助。更详细的证据也被发布在网上。